如图，BE、CF是△ABC的高，它们相交于点O，点P在BE上，Q在CF的延长线上且BP=AC，CQ=AB，（1）求证：△ABP≌△QCA．（2）AP和AQ的位置关系如何，请给予证明．

Question

如图，BE、CF是△ABC的高，它们相交于点O，点P在BE上，Q在CF的延长线上且BP=AC，CQ=AB，
（1）求证：△ABP≌△QCA．
（2）AP和AQ的位置关系如何，请给予证明．

Answer 1

证明：（1）∵BE、CF是△ABC的高，即∠AEB=90°，∠AFC=90°，
∴∠ABP+∠BAE=90°，∠ACQ+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠ACQ，
在△ABP与△QCA中，
∵

BP=AC

∠ABE=∠ACQ

CQ=AB

，
∴△ABP≌△QCA．

（2）PA⊥AQ．
证明：由△ABP≌△QCA得∠BAP=∠Q，
∵∠Q+∠BAQ=90°，∴∠BAP+∠BAQ=90°，即∠PAQ=90°，
∴PA⊥AQ．