如图,△ABC的两条高AD,BM相交于E,且EC,∠AEB=105°,∠EAD=45°,求证：(1)AB=2AM,(2)BC=AC;(3)AB-BE=CE;(4)AM-CM=CE如图，△ABC的两条高AD,BM相交于E,连EC,∠AEB=105°,∠EAD=45°，求证：(1)AB=2AM,(2)BC=AC;(3)AB-BE=CE;(4)AM-CM=CE

Question

如图,△ABC的两条高AD,BM相交于E,且EC,∠AEB=105°,∠EAD=45°,求证：(1)AB=2AM,(2)BC=AC;(3)AB-BE=CE;(4)AM-CM=CE
如图，△ABC的两条高AD,BM相交于E,连EC,∠AEB=105°,∠EAD=45°，求证：(1)AB=2AM,(2)BC=AC;(3)AB-BE=CE;(4)AM-CM=CE

Answer 1

纠正：（1）∵求AB=2AM,即求∠ABM=30º,∴应为∠BAD=45º
（2）∵∠BAM=60º,∠ABD=45º,∴BC≠AC,应为BE=AC
证明：
∵AM⊥AC,AD⊥BC
∴∠ADB=∠AMB=90º
∵∠AEB=105°,∠BAD=45°
∴∠ABM=180º-∠AEB-∠BAD=30º
∴AB=2AM【30º角所对的直角边等于斜边的一半】（1）完
∵∠BAD=45º
∴∠ABD=45º
∴AD=BD
∵∠DBE=∠ABD-∠ABE=45º-30º=15º
∠CAD=∠BAM-∠BAD=60º-45º=15º
∴∠DBE=∠CAD
又∵∠BDE=∠ADC=90º,BD=AD
∴⊿BDE≌⊿ADC（ASA）
∴BE=AC（2）完
DE=DC
∴∠ECD=∠CED=45º
延长AC至N,使CN=CE,连接EN
则∠CEN=∠N
∵∠ACD=90º-15º=75º
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=75º-45º=30º
∴∠N=½∠ACE=15º
∴∠EAC=∠N
∴AE=EN
即⊿EAN是等腰三角形,且EM⊥AN,根据三线合一
∴AM=MN=MC+CN=MC+CE
∴AM-MC=CE (4)完
∵AB=2AM=AN
AN=AC+CN=AC+CE
AC=BE
∴AB=BE+CE
∴AB-BE=CE（3）完