一副三角板拼在一起,O为AD的中点,AB=a.将△ABO沿BO对折于△A'BO,M为BC上一点,则A'M的最小值为?

Question

一副三角板拼在一起,O为AD的中点,AB=a.将△ABO沿BO对折于△A'BO,M为BC上一点,则A'M的最小值为?

Answer 1

根据折叠的性质知AB=A′B=a；而O是Rt△ABD斜边AD的中点,则有AO=OB,由此可证得△ABO是等边三角形,那么∠A′BO=∠ABO=60°,进而可求出∠A′BM=15°；当A′M最小时,A′M⊥BC,此时△A′BM是直角三角形,取A′B的中点N,连接MN,那么∠A′NM=30°,A′N=MN= A′B= a；过M作A′B的垂线,设垂足为H,在Rt△MNH中,根据∠A′NM的度数即可表示出NH,MH的长,进而可求出A′H的长,即可在Rt△A′MH中,根据勾股定理求出A′M的长．由折叠的性质知：AB=A′B=a,∠ABO=∠A′BO；
∵O是Rt△ABD斜边AD的中点,
∴OA=OB,即△ABO是等边三角形；
∴∠ABO=∠A′BO=60°；
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=135°,
∴∠A′BM=135°-120°=15°；
易知当A′M⊥BC时,A′M最短；
过M作MH⊥A′B于H,取A′B的中点N,连接MN；
在Rt△A′BM中,N是斜边A′B的中点,则BN=NM=A′N= a,∠B=∠NMB=15°；
∴∠A′NM=30°；
∴MH= a,NH= a；
∴A′H=A′N-NH= a；
由勾股定理得：A′M= = = a．点评：此题主要考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用,能够正确的构建出含特殊角的直角三角形是解答此题的关键．