已知如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC的中点，过C作CE⊥BD交BD的延长线于E，连结AE，过A作AF⊥AE交BD于F．（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；（2）连结CF，求证：CF=AC．

Question

已知如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC的中点，过C作CE⊥BD交BD的延长线于E，连结AE，过A作AF⊥AE交BD于F．

（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）连结CF，求证：CF=AC．

Answer 1

（1）证明：∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠CAE，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABF=∠ACE，
在△ABF和△ACE中，

∠BAF=∠CAE

AB=AC

∠ABF=∠ACE

，
∴△ABF≌△ACE（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）证明：过点A作AM⊥BD于点M，如图所示：
则∠AME=90°，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∵D为AC中点，
∴AD=CD
在△AMD和△CED中，

∠ADM=∠CDE

∠AMD=∠CED=90°

AD=CD

，
∴△AMD≌△CED（AAS），
∴AM=CE，
∵△AEF为等腰直角三角形，AM⊥BD，
∴AM=MF=ME，
∴AM=MF=ME=CE，EF=2AM，
由（1）知：△ABF≌△ACE，
∴BF=EC，
∴BM=2AM，
∴BM=EF，
在△CEF和△AMB中，

CE=AM

∠CEB=∠AMD

EF=BM

，
∴△CEF≌△AMB（SAS）
∴CF=AB，
∴CF=AC．