如图，在正方形ABCD中，G为AB边的中点，∠BAD的平分线交DG于M，过点B作BE⊥BD交DG的延长线于点E，再过点A作AF⊥DG，交BC边于点F，交BD边于点N．（1）求证：AM=BN；（2）求证：AN=2EG；（3）连接MN

Question

如图，在正方形ABCD中，G为AB边的中点，∠BAD的平分线交DG于M，过点B作BE⊥BD交DG的延长线于点E，再过点A作AF⊥DG，交BC边于点F，交BD边于点N．

（1）求证：AM=BN；
（2）求证：AN=2EG；
（3）连接MN，若正方形ABCD的边长为2，求MN的长．

Answer 1

证明：（1）∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABF=∠DAG=90°，
∵AF⊥DG，
∴∠BAF+∠AGD=90°，
∵∠AGD+∠ADG=90°，
∴∠BAF=∠ADG，
在△ADG与△BAF中，

∠BAF=∠ADG

∠DAG=∠ABF=90°

AB=AD

，
∴△ADG≌△BAF（AAS），
∴∠BAG=∠ADM，
∵∠ABN=∠DAM=45°，AB=AD，
在△ABN与△DAM中

AB=AD

∠BAF=∠ADM

∠ABN=∠DAM=45°

，
∴△ABN≌△DAM（AAS），
∴AM=BN，DM=AN；
（2）连接AE，如图：

∵∠GAM=∠GBE=45°，∠AGM=∠BGE，AG=BG，
∴△BEG≌△AGM（ASA），
∴GM=GE，AM=BE，
∵∠ABE=∠DAM=45°，BE=AM，AB=AD，
∴△ABE≌△DAM，
∴∠BAE=∠ADM，DM=AE，
∴∠EAM=∠EAB+45°=∠ADM+45°=∠AME，
∴AE=ME，
∴AN=DM=AE=2GM；
（3）连接MN，如图3

∵∠ADN=∠NBF，∠BNF=∠AND，
∴△ADN～△FBN，
∴(DN)/(BN)=(AD)/(BF)=(2)/(1)，
由（2）得：(DM)/(GM)=(2)/(1)，
∴(DN)/(BD)=(DM)/(DG)=(2)/(3)，
∵∠MDN=∠GDB，
∴△MDN∽△GDB，
∴(MN)/(BG)=(2)/(3)，
∴MN=(2)/(3)BG=(2)/(3)．