已知：在▱ABCD中，∠BAD=45°，AB=BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H（1）如图1，若点E与点C重合，且AF=5，求AD的长；（2）如图2，连接FH，求证：∠AFB=∠HFB；（3）

Question

已知：在▱ABCD中，∠BAD=45°，AB=BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H

（1）如图1，若点E与点C重合，且AF=√(5)，求AD的长；
（2）如图2，连接FH，求证：∠AFB=∠HFB；
（3）如图3，连接AH交BF于M，当M为BF的中点时，请直接写出AF与FH的数量关系．

Answer 1

（1） 如图1中，∵AB=BD，∠BAD=45°，
∴∠BDA=∠BAD=45°，
∴∠ABD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴E、C重合时BF=(1)/(2)BD=(1)/(2)AB，
在RT△ABF中，∵AF²=AB²+BF²，
∴（√(5)）²=（2BF）²+BF²，
∴BF=1，AB=2，
在RT△ABD中，AD=√(AB2+BD2)=2√(2)．
（2）证明：如图2中，在AF上截取AK=HD，连接BK，
∵∠AFD=∠ABF+∠2=∠FGD+∠3，∠ABF=∠FGD=90°，
∴∠2=∠3，
在ABK和△DBH中，

AB=BD

∠2=∠3

AK=HD

，
∴△ABK≌△DBH，
∴BK=BH，∠6=∠1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠4=∠1=∠6=45°，
∴∠5=∠ABD-∠6=45°，
∴∠5=∠1，
在△FBK和△FBH中，

BF=BF

∠5=∠1

BK=BH

，
∴△FBK≌△FBH，
∴∠BFK=∠BFH．
（3）结论AF=3FH．
理由：如图3中，延长FH、AB交于点N，作BK∥AH交FN于K．
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠BFN+∠N=90°，∠BFN=∠BFA，
∴∠FAB=∠N，
∴FA=FN，
∵FB⊥AN，
∴AB=BN，
∵BK∥AH，
∴HK=KN，
∵FM=BM，MH∥BK，
∴FH=HK，
∴FH=HK=FN．
∴FN=3FH，
∵AF=FN，
∴AF=3FH．