如图1，在矩形ABCD中，点E为边AD上靠近D的三等分点，点F为边CD的中点，AB=AE=4，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求四棱锥P-BCFE的体

Question

如图1，在矩形ABCD中，点E为边AD上靠近D的三等分点，点F为边CD的中点，AB=AE=4，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．

（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；
（Ⅱ）求四棱锥P-BCFE的体积．

Answer 1

（1）证明：∵点E为边AD上靠近D的三等分点，点F为边CD的中点，AB=AE=4，
∴AB=AE=(2)/(3)AD=4，
∴DE=(1)/(3)AD=(1)/(2)AB=2，
∵F为CD边的中点，
∴DE=DF，又DE⊥DF，
∴∠DEF=45°，
同理∠AEB=45°，
∴∠BEF=45°，即EF⊥BE，
又平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，
∴EF⊥平面PBE，
EF⊂平面PEF，
∴平面PBE⊥平面PEF；如图，
在Rt△DEF中，∵ED=DF，∴∠DEF=45°．
在Rt△ABE中，∵AE=AB，∴∠AEB=45°，
∴∠BEF=90°，则EF⊥BE．
∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，
∴EF⊥平面PBE，
∵EF⊂平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF；
（2） 过P做PO⊥BE，
∵PO⊂平面PBE，平面PBE⊥平面BCDE且平面PBE∩平面BCDE=BE，
∴PO⊥平面BCDE，
四棱锥P-BCFE的高h=PO=2√(2)．
S_{四边形BCFE}=S_矩形ABCD-S_△ABE-S△DEF=6×4-(1)/(2)×4×4-(1)/(2)×2×2=14，
则VP-BCFE=(1)/(3)S四边形BCFE•h=(1)/(3)×14×2√(2)=(28√(2))/(3)．