如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB1，D为AB的中点，且CD⊥DA1（I）求证：BC1∥平面DCA1（II）求证：平面ABC⊥平面ABB1A1（III）求BC1与平面ABB1A1所成角的大小．

Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁，D为AB的中点，且CD⊥DA₁
（I）求证：BC₁∥平面DCA₁
（II）求证：平面ABC⊥平面ABB₁A₁
（III）求BC₁与平面ABB₁A₁所成角的大小．

Answer 1

（I）证明：如图一，连接AC₁与A₁C交于点K，连接DK．
在△ABC₁中，D、K为中点，∴DK∥BC₁，
又DK⊂平面DCA₁，BC₁⊄平面DCA₁，
∴BC₁∥平面DCA₁．


（II）证明：∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB，又CD⊥DA₁，
∴CD⊥面AA₁B₁B，
又∵CD⊂平面ABC，∴平面A₁B₁B⊥平面ABC．
（III）取A₁B₁的中点E，又D为AB的中点，∴DE、BB₁、CC₁平行且相等，
∴DCC₁E是平行四边形，∴C₁E、CD平行且相等．
又CD⊥平面ABB₁A₁，∴C₁E⊥平面ABB₁A₁，∴∠EBC₁即所求角，
由前面证明知CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥BB₁，
又AB⊥BB₁，AB∩CD=D，∴BB₁⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．
设AC=BC=BB₁=2，∴BC1=2√(2)，EC1=√(2)，∠EBC₁=30°．