设f（x）在（-∞,+∞）内可导,对任意X1,X2,当X1>X2时,都有f（X1）>f（X2）,则对任意的X,f′（X）>0.这个结论为什么是错误的?答案是举例y=x³.但是根据导数的定义,当X1→X2分子分母均大于0,f′（

Question

设f（x）在（-∞,+∞）内可导,对任意X1,X2,当X1>X2时,都有f（X1）>f（X2）,则对任意的X,f′（X）>0.这个结论为什么是错误的?答案是举例y=x³.但是根据导数的定义,当X1→X2分子分母均大于0,f′（X）不就大于0吗?我不明白的就是为什么从最本质的定义式上得不出等于0.

Answer 1

虽然分子分母均大于0,但是(f(X1)-f(X2))/(X1-X2)的值在X1→X2时极限可能为0.此时f'(x)就等于0了.事实上对于一元函数若它可导则一定连续,则根据函数点连续的定义可知f(X)在X→X2时其极限值为f(X2),令X=X1,则当X1→X2时有f(X1)的极限值为f(X2),根据极限的运算(f(X1)-f(X2))/(X1-X2)的值在X1→X2时极限值为0,这样f'(X)就等于0了.对于f'(X)>0的情况很好理解,对于X1>X2时,都有f（X1）>f（X2）,说明该函数严格单调递增,则必然满足f′（X）>0.