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(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc,有没有简便方法?
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(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc,有没有简便方法?
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答案和解析
a³+b³+c³-3abc
=(a+b)(a²-ab+b²)+c³-3abc
=[(a+b)³-3a²b-3ab²]+c³-3abc
=[(a+b)³+c³]-(3a²b+3ab²+3abc)
=(a+b+c)[(a+b)²-(a+b)c+c²]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+b²+2ab-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)
=(a+b)(a²-ab+b²)+c³-3abc
=[(a+b)³-3a²b-3ab²]+c³-3abc
=[(a+b)³+c³]-(3a²b+3ab²+3abc)
=(a+b+c)[(a+b)²-(a+b)c+c²]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+b²+2ab-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)
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