已知函数f(x)=-1/3x^3+a/2x^2-2x（x属于R）若过点（0,-1/3）可作函数Y=f（x）图像的三条不同切线,求实a的取值范围

Question

已知函数f(x)=-1/3x^3+a/2x^2-2x（x属于R）若过点（0,-1/3）可作函数Y=f（x）图像的三条不同切线,求实a的取值范围

Answer 1

f'(x)=-x^2+ax-2
设过点(0, -1/3)的切线为y=kx-1/3,
切点为(b, f(b)), 则有k=f'(b)=-b^2+ab-2
即y=(-b^2+ab-2)x-1/3
代入点(b, f(b)）入切线方程：
-b^3/3+ab^2/2-2b=(-b^2+ab-2)b-1/3
-b^3/3+ab^2/2-2b=-b^3+ab^2-2b-1/3
4b^3-3ab^2+2=0
即此方程有3个不同实根b
令g(b)=4b^3-3ab^2+2
g'(b)=12b^2-6ab=6b(2b-a)=0, 得极值点：b=0, a/2
f(0)=2
f(a/2)=-a^3/4+2
要使g(b)有3个零点,因f(0)>0,
所以需要f(a/2)