已知三棱锥P-ABC中，G1、G2、G3分别是侧面△PAB，△PAC，△PBC的重心．（1）求证：平面G1G2G3∥平面ABC；（2）求△G1G2G3的面积与△ABC的面积之比．

Question

已知三棱锥P-ABC中，G₁、G₂、G₃分别是侧面△PAB，△PAC，△PBC的重心．
（1）求证：平面G₁G₂G₃∥平面ABC；
（2）求△G₁G₂G₃的面积与△ABC的面积之比．

Answer 1

（1）证明：因为G₁、G₂分别是侧面△PAB，△PAC的重心，
所以可以连接BG₁并延长交PA于点D，连接CG₂，
并延长也交PA于点D，则BD、CD分别为△PAB，△PAC的中线，
根据△重心的性质，得DG₁=(1)/(2)BG₁，DG₂=(1)/(2)CG₂．
所以G₁G₂∥BC，（平行线分线段成比例）
同理可证，G₂G₃∥AB，
所以平面G₁G₂G₃∥平面ABC．
（2）因为DG₁=(1)/(2)BG₁、DG₂=(1)/(2)CG2，
所以DG₁=(1)/(3)BD，DG₂=(1)/(3)CD，
又G₁G₂∥BC，∴△DG₁G₂∽△DBC，
所以G₁G₂=(1)/(3)BC，
同理可证，G₂G₃=(1)/(3)AB，G₁G₃=(1)/(3)AC，
所以△G₁G₂G₃与△ABC的边长之比为(1)/(3)，
故△G₁G₂G₃的面积与△ABC的面积之比(1)/(9)．