（2014•平房区一模）如图：已知△ABC中，AB=AC，点D为AB上一点，连接CD，BF∥CD连接AF交CD于点E，AE=BF．求证：∠AEC=2∠ABC．

Question

（2014•平房区一模）如图：已知△ABC中，AB=AC，点D为AB上一点，连接CD，BF∥CD连接AF交CD于点E，AE=BF．求证：∠AEC=2∠ABC．

Answer 1

（1）分别过点A、B作AH⊥EC，BN⊥AF于H、N两点，
∵BF∥CE∴∠BFE=∠FEC，
∴∠BFN=∠AEC
∵AE=BF，
∴△AEH≌△BFN，
∴AH=BN，
∵AC=AB∠AHC=∠BNA=90°，
∴△AHC≌△ABN，
∴∠BAF=∠ACE，
∵BF∥CE，
∴∠FBC=∠ECB
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BFN=∠AEC=∠ABF+∠BAF=∠FBC+∠ABC+∠BAF=2∠ABC；

（2）猜想：CQ：MQ=2：9，
∵CD∥BM∴△ADE∽△ABF△AEH∽△AFM，
(DE)/(BF)=(AE)/(AF)，(EH)/(FM)=(AE)/(AF)，
∴(DE)/(BF)=(EH)/(FM)，
∵DE：EH=2：3，
∴BF：FM=2：3，
∵AG⊥BC AB=AC，
∴BG=CG∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠AEC=90°，
∵CH∥BM，
∴∠CHG=∠BMG∠MBG=∠HCG，
∴△BFG≌△CNG△HGN≌△MGF，
∴BF=CN，FM=HN，
设AE=BF=CN=2a，则MF=HN=3a，设DE=2m，则EH=3m，
∵∠AEC=∠DAC=90°，
∴△ADE∽△CAE，
 (DE)/(AE)=(AE)/(EC)，即(2m)/(2a)=(2a)/(3m+5a)，
化简得2a²-5ma-3m²=0，
解得a₁=-(m)/(2)（舍去），a₂=3m，
∵CD∥BM，
∴AH：AM=EH：FM=3m：9m=1：3，
过点H作HP∥AQ交CM于点P，
∴(MH)/(AH)=(MP)/(PQ)，即MP：PQ=2：1，
∵HP∥NQ，
∴(CN)/(HN)=(CQ)/(PQ)，即CQ：PQ=2：3，
CQ：MQ=2：9；