若n阶矩阵A满足A^2=E,则称A为对合矩阵,设A,B都是n阶对合矩阵且|A|+|B|=0,试证明|A+B|=0

Question

若n阶矩阵A满足A^2=E,则称A为对合矩阵,设A,B都是n阶对合矩阵且|A|+|B|=0,试证明|A+B|=0

Answer 1

解: 因为A,B为对合矩阵
所以 |A|^2=|B|^2=1 [ |A|=±1, |B|=±1 ]
再由 |A|+|B|=0 [ 得 |A|,|B| 必一正一负, 即有 |A||B|=-1]
得 |A|^2+|B|^2+2|A||B|=0
所以 |A||B|=-1.
所以 -|A+B|
= |A||A+B||B|
= |A(A+B)B|
= |AAB+ABB|
= |B+A|
= |A+B|
所以有 2|A+B| = 0
所以 |A+B| = 0.