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若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可微,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.求证:在(0,1)内至少存在一点ξ,使得f'（ξ）=1.越详细越好,谢谢.
题目详情
若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可微,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.
求证:在(0,1)内至少存在一点ξ,使得f'（ξ）=1.
越详细越好,谢谢.
求证:在(0,1)内至少存在一点ξ,使得f'（ξ）=1.
越详细越好,谢谢.
▼优质解答
答案和解析
你好
设g（x）=f（x+1/2）-f(x)
则g(0)=1
g(1/2)=-1
根据连续函数的介质性质,有c∈（0,1/2）,
使g（c）=1/2
即f（c+1/2）-f(c)=1/2
由中值定理知,必有ξ∈（c,c+1/2）
使得f’（ξ）=f(c+1/2)-f(c)/1/2=1
设g（x）=f（x+1/2）-f(x)
则g(0)=1
g(1/2)=-1
根据连续函数的介质性质,有c∈（0,1/2）,
使g（c）=1/2
即f（c+1/2）-f(c)=1/2
由中值定理知,必有ξ∈（c,c+1/2）
使得f’（ξ）=f(c+1/2)-f(c)/1/2=1
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