在三棱锥A-BCD中，AC⊥底面BCD，BD⊥DC，BD=DC，AC=1，∠ABC=30°，则C到平面ABD的距离是（）A．55B．155C．35D．153

Question

在三棱锥A-BCD中，AC⊥底面BCD，BD⊥DC，BD=DC，AC=1，∠ABC=30°，则C到平面ABD的距离是（　　）

A．(√(5))/(5)
B．(√(15))/(5)
C．(√(3))/(5)
D．(√(15))/(3)

Answer 1

∵∠ABC=30°，AC⊥平面BCD，BC、BD∈平面BCD，
∴AC⊥BC，BD⊥AC，
∴AB=2AC=2，BC=√(3)，
∵△DBC是等腰直角三角形，
∴BD=CD=(√(2)BC)/(2)＝(√(6))/(2)，
S△BCD＝BD•(CD)/(2)=BD•(CD)/(2)=(3)/(4)，
∵AC∩CD=D，∴BD⊥平面ACD，
∵AD∈平面ACD，∴BD⊥AD，
∴△ABD是直角三角形，
AD=√(AB2−BD2)=(√(10))/(2)，
S_△ABD=AD•(BD)/(2)=(√(15))/(4)，
设C至平面ABD距离为d，
V_C-ABD=V_A-BCD，
(1)/(3)d•(√(15))/(4)=(1)/(3)•1•(3)/(4)，
解得d=(√(15))/(5)．
故选：B．