如图，△A1A2B是直角三角形，∠A1A2B=90°，且A1A2=A2B=4，A2A3⊥A1B，垂足为A3，A3A4⊥A2B，垂足为A4，A4A5⊥A3B，垂足为A5，A5A6⊥A4B，垂足为A6，一直按此做去，…则△AnAn+1B的面积为12n−412n−4．

Question

如图，△A₁A₂B是直角三角形，∠A₁A₂B=90°，且A₁A₂=A₂B=4，A₂A₃⊥A₁B，垂足为A₃，A₃A₄⊥A₂B，垂足为A₄，A₄A₅⊥A₃B，垂足为A₅，A₅A₆⊥A₄B，垂足为A₆，一直按此做去，…则△A_nA_n+1B的面积为

(1)/(2n−4)

(1)/(2n−4)

．

Answer 1

由题意可知，截出的直角三角形都是等腰直角三角形，
∴A₂A₃=(√(2))/(2)A₁A₂，
A₃A₄=(√(2))/(2)A₂A₃=（(√(2))/(2)）²A₁A₂，
A₄A₅=(√(2))/(2)A₃A₄=（(√(2))/(2)）³A₁A₂，
A₅A₆=(√(2))/(2)A₄A₅=（(√(2))/(2)）⁴A₁A₂，
…，
A_nA_n+1=(√(2))/(2)A_n-1A_n=（(√(2))/(2)）^n-1A₁A₂，=4×（(√(2))/(2)）^n-1，
所以，△A_nA_n+1B的面积=(1)/(2)×[4×（(√(2))/(2)）^n-1]²=(1)/(2)×16×(1)/(2n−1)=(1)/(2n−4)．
故答案为：(1)/(2n−4)．