已知四边形ABCD，AB=AD=2，BC=CD=1，BC⊥CD，将四边形沿BD折起，使A′C=3，如图所示．（1）求证：A′C⊥BD；（2）求二面角D-A′B-C的余弦值的大小．

Question

已知四边形ABCD，AB=AD=√(2)，BC=CD=1，BC⊥CD，将四边形沿BD折起，使A′C=√(3)，如图所示．
（1）求证：A′C⊥BD；
（2）求二面角D-A′B-C的余弦值的大小．

Answer 1

证明：（1）取BD的中O点，连CO，A′O，
∵A′B=A′D=√(2)，BC=CD=1，
∴CO⊥BD，A′O⊥BD，
又∵CO∩A′O=O，CO，A′O⊂平面A′CO
∴BD⊥平面A′CO，
又∵A′C⊂平面A′CO，
∴A′C⊥BD
（2）∵BC⊥CD，BC=CD=1
∴BD=√(2)，
∴△A′BD是正三角形，
取A′B、A′C的中点M、N，连DM，MN，DN，
则DM⊥A′B，
又∵A′C=√(3)，A′B=√(2)，BC=1，
∴A′B²+BC²=A′C²，A′D²+DC²=A′C²
即BC⊥A′B，CD⊥A′D，
∵MN∥BC，
∴MN⊥A′B，
所以∠DMN即二面角D-A′B-C的平面角
∵DM=(√(6))/(2)，DN=(√(3))/(2)，
∴cos∠DMN=(√(6))/(3)，即二面角D-A′B-C的余弦值为(√(6))/(3)