在直角坐标系中,点ABC的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,3)过ABC三点的抛物线的对称轴为直线L,D为L上一动点1.求当AD+CD最小时点D的坐标2.以点A为圆心,以AD为半径作○A证明当AD+CD最小时,直线BD与○A相切

Question

在直角坐标系中,点ABC的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,3)过ABC三点的抛物线的对称轴为直线L,D为L上一动点
1.求当AD+CD最小时点D的坐标
2.以点A为圆心,以AD为半径作○A
证明当AD+CD最小时,直线BD与○A相切
写出直线BD与○A相切时,D点的另一个坐标

Answer 1

设抛物线为y=ax²+bx+c,
由A（-1,0）,B（3,0）,C（0,3）
代入得：
0=a-b+c（1),
0=9a+3b+c(2),
3=c(3）
a=-1,b=2,c=3
∴y=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4.
∴L=1,
①以L为对称轴在y上作C的对称点E,
由C（0,3）,得E（2,3）
连EA交L于D,连CD,
AE就是AD+CD的最小值.
过AE的直线方程为：y=x+1
x=1时,y=2,∴D（1,2）
②连BD,过D作DF⊥AB交AB于F,
∵AF=BF=DF=2,∴∠ADB=90°,（三角形一边的中线是这边的一半,三角形是直角三角形）
BD⊥AD,∴BD与OA相切.
由对称性：D关于x轴对称点D′（1,-2）