如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，若PA=5，PB=10，PC=22，且点E，F分别在线段PB，PA上满足：PE：EB=1：2，PF：FA=2：3（Ⅰ）求证：△ABC为锐角三角形；（Ⅱ）求平面EFC与平面A

Question

如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，若PA=√(5)，PB=√(10)，PC=2√(2)，且点E，F分别在线段PB，PA 上满足：PE：EB=1：2，PF：FA=2：3
（Ⅰ）求证：△ABC为锐角三角形；
（Ⅱ）求平面EFC与平面ABC所成的角的余弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）过P作PD⊥AB于D，连接CD，
则

PC⊥PA

PC⊥PB

PA∩PB＝P

，
则PC⊥平面PAB，
又AB⊂平面PAB，
∴AB⊥PC，
∵PD⊥AB，PC∩PD=P，
即

AB⊥面PDC

CD⊂面ABC

，
则AB⊥CD，
则∠CAB与∠CBA均为锐角，同理可知∠ACB为锐角
即△ABC为锐角三角形；
（Ⅱ）以P为原点PB、PA、PC分别为x，y，z轴建立坐标系．
则C（0，0，(2√(5))/(5)），A（0，2√(2)，0），B（(2√(10))/(5)，0，0），E（

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作业帮用户 2017-11-05 举报

问题解析

（Ⅰ）利用线面垂直，分别证明∠CAB与∠CBA，∠ACB为锐角，即可证明△ABC为锐角三角形；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出平面EFC与平面ABC所成的角的余弦值

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．

考点点评：

本题主要考查线面垂直的应用，以及二面角的求法，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．

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