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如图1,已知A(0,a),B(b,0),点P为△ABO的角平分线的交点.(1)若a、b满足|a+b|+a2-4a+4=0.求A、B的坐标;(2)连OP,在(1)的条件下,求证:OP+OB=AB;(3)如图2.PM⊥PA交x轴于M,PN⊥A
题目详情
如图1,已知A (0,a),B(b,0),点P为△ABO的角平分线的交点.
(1)若a、b满足|a+b|+a2-4a+4=0.求A、B的坐标;
(2)连OP,在(1)的条件下,求证:OP+OB=AB;
(3)如图2.PM⊥PA交x轴于M,PN⊥AB于N,试探究:AO-OM与PN之间的数量关系.
(1)若a、b满足|a+b|+a2-4a+4=0.求A、B的坐标;
(2)连OP,在(1)的条件下,求证:OP+OB=AB;
(3)如图2.PM⊥PA交x轴于M,PN⊥AB于N,试探究:AO-OM与PN之间的数量关系.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵|a+b|+a2-4a+4=0,
|a+b|+(a-2)2=0,
a+b=0,a-2=0,
a=2,b=-2,
∴A的坐标是(0,2),B的坐标是(-2,0);
(2)连接AP、BP,在x轴正半轴截取OM=OP,连接PM,
则∠OMP=∠OPM=
∠POB,
∵P为△AOB角平分线交点,∠AOB=90°,OA=OB,
∴∠BAO=∠AOP=∠BOP=∠ABO=45°,
∴∠ABP=∠MBP,∠PMO=∠OAP=∠BAP=
×45°=22.5°,
在△ABP和△MBP中
∴△ABP≌△MBP(AAS),
∴AB=BM=OB+OP.
(3)AO-OM=2PN,
理由是:作 PE⊥x轴于E,PF⊥y轴于 F,
则∠AFP=∠MEP=90°,
∵P是△AOB角平分线交点,
∴PF=PE,
∵PE⊥x轴,PF⊥y轴,
∴∠PFO=∠PEO=∠FOE=90°,
∴∠FPE=90°,
∵AP⊥PM,
∴∠APM=90°=∠FPE,
∴∠APM-∠FPM=∠FPE-∠FPM,
即∠APF=∠MPE,
在△APF和△MPE中
∴△APF≌△MPE,
∴AF=EM,
∴AO-OM=(AF+OF)-(EM-OE)
=20E
=2PN,
即AO-OM=2PN.
|a+b|+(a-2)2=0,
a+b=0,a-2=0,
a=2,b=-2,
∴A的坐标是(0,2),B的坐标是(-2,0);
(2)连接AP、BP,在x轴正半轴截取OM=OP,连接PM,
则∠OMP=∠OPM=
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∵P为△AOB角平分线交点,∠AOB=90°,OA=OB,
∴∠BAO=∠AOP=∠BOP=∠ABO=45°,
∴∠ABP=∠MBP,∠PMO=∠OAP=∠BAP=
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在△ABP和△MBP中
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∴△ABP≌△MBP(AAS),
∴AB=BM=OB+OP.
(3)AO-OM=2PN,
理由是:作 PE⊥x轴于E,PF⊥y轴于 F,
则∠AFP=∠MEP=90°,
∵P是△AOB角平分线交点,
∴PF=PE,
∵PE⊥x轴,PF⊥y轴,
∴∠PFO=∠PEO=∠FOE=90°,
∴∠FPE=90°,
∵AP⊥PM,
∴∠APM=90°=∠FPE,
∴∠APM-∠FPM=∠FPE-∠FPM,
即∠APF=∠MPE,
在△APF和△MPE中
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∴△APF≌△MPE,
∴AF=EM,
∴AO-OM=(AF+OF)-(EM-OE)
=20E
=2PN,
即AO-OM=2PN.
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