△ABC中，∠BAC=45°，S△ABC=12，BC=4，点D、E、F为BC、AB、AC边上的动点，则△DEF周长的最小值为．

Question

△ABC中，∠BAC=45°，S_△ABC=12，BC=4，点D、E、F为BC、AB、AC边上的动点，则△DEF周长的最小值为 ___．

Answer 1

在BC上任取一点D，连接AD，
把△ABD沿AB翻折得△ABD′，把△ACD沿AC翻折得△ACD″，
∵∠BAC=45°，
∴∠D′AD″=90°，AD=AD′=AD″，
连接D′D″交AB、AC于E、F．连接DE，DF，
∵DE=D′E，DF=D″F，
∴△DEF的周长的最小值=DE+DF+EF=D′E+EF+D″F=D′D″=√(2)AD，
∵根据垂线段最短可知AD⊥BC时AD的值最小，
∵S_△ABC=12，BC=4，
∴AD的最小值=6，
∴△DEF的周长的最小值=6√(2)．
故答案为：6√(2)．