如图，以△ABC的边AC为直径的半圆交AB于D，三边长a，b，c能使二次函数y＝12(c+a)x2−bx+12(c−a)的顶点在x轴上，且a是方程z2+z-20=0的一个根．（1）证明：∠ACB=90°；（2）若设b=2x，弓形面积S弓形AE

Question

如图，以△ABC的边AC为直径的半圆交AB于D，三边长a，b，c能使二次函数y＝(1)/(2)(c+a)x2−bx+(1)/(2)(c−a)的顶点在x轴上，且a是方程z²+z-20=0的一个根．
（1）证明：∠ACB=90°；
（2）若设b=2x，弓形面积S_弓形AED=S₁，阴影部分面积为S₂，求（S₂-S₁）与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当b为何值时，（S₂-S₁）最大？

Answer 1

（1）因为二次函数y=(1)/(2)（a+c）x²-bx+(1)/(2)（c-a）的顶点在x轴上，
∴△=0，
即b²-4×(1)/(2)（a+c）×(1)/(2)（c-a）=0，
∴c²=a²+b²，
得∠ACB=90°，
或者从抛物线顶点的纵坐标为零求得
y=(4×(1)/(2)(a+c)×(1)/(2)(c−a)−b2)/(4×(1)/(2)(a+c))=0，
可得c²=a²+b²；

（2）∵z²+z-20=0．
∴z₁=-5，z₂=4，
∵a＞0，得a=4，
设b=AC=2x，有S_△ABC=(1)/(2)AC•BC=4x，S_半圆=(1)/(2)πx²，
∴S₂-S₁=S_△ABC-（S_半圆-S₁）-S₁=S_△ABC-S_半圆=-(π)/(2)x²+4x，

（3）S₂-S₁=-(π)/(2)（x-(4)/(π)）²+(8)/(π)，
∴当x=(4)/(π)，
即b=(8)/(π)时，（S₂-S₁）有最大值(8)/(π)．