如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N．（1）求证：△ANC为等腰三角形；（2）试判断BN与CD的数量关系，并说明理由．

Question

如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N．

（1）求证：△ANC为等腰三角形；
（2）试判断BN与CD的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵CN⊥AD，
∴∠AHN=∠AHC=90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠NAH=∠CAH，
又∵在△ANH和△ACH中
∠AHN+∠NAH+∠ANH=180°，∠AHC+∠CAH+∠ACH=180°
∴∠ANH=∠ACH，
∴AN=AC，
∴△ANC为等腰三角形；

（2） BN=CD，
原因如下：如图：连接ND
∵△AND和△ACD中

∠NAD=∠CAD

AH=AH

∠AHN=∠AHC

∴△AND≌△ACD（ASA），
∴DN=DC，∠AND=∠ACD，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠AND=2∠B
又∵△BND中，∠AND=∠B+∠NDB，
∴∠B=∠NDB，
∴NB=ND，
∴BN=CD．