如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在直线AD上的点E处，直线AD的解析式为y=-34x+6，则（1）AO=；AD=；OC=；（2）动点

Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在直线AD上的点E处，直线AD的解析式为 y=-(3)/(4) x+6 ，则
（1）AO=______；AD=______；OC=______；
（2）动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿着x轴正方向匀速运动，点Q是射线CE上的点，且∠PAQ=∠BAC，设P运动时间为t秒，求△POQ的面积S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，直线CE上是否存在一点Q，使以点Q、A、D、P为顶点的四边形是平等四边形？若存在，求出t值及Q点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵A、D是直线y=- (3)/(4) x+6上的点，
∴A（0，6），D（8，0），
∴AO=6，OD=8；
∵△AOD是直角三角形，
∴AD=

AO 2 + OD 2

=

6 2 + 8 2

=10，
∵△ACE由△ACO反折而成，
∴AE=AO=6，CE⊥AD，
∴DE=QD-AE=10-6=4，
∵∠ADO=∠ADO，∠AOD=∠CED，
∴△AOD ∽ △CED，
∴ (AD)/(CD) = (OD)/(ED) ， (10)/(CD) = (8)/(4) ，解得CD=5，
∴OC=OD-CD=8-5=3．

（2）当P在线段BO上时，即0＜t＜3时；
∵∠BAC=∠PAQ，
∴∠BAP=∠CAQ=∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC；
又∵∠ABP=∠ACQ=∠ACO，且AB=AC，
∴△ABP≌△ACQ，得BP=CQ=t，OP=3-t；
∴△POQ的面积为：S= (1)/(2) OP•CQ•sin∠ECD= (1)/(2) （3-t）× (4)/(5) t，即S=- (2)/(5) t ² + (6)/(5) t；
当P在x轴正半轴上时，即t＞3时；
同①可得：BP=CQ=t，OP=t-3；
∴S= (1)/(2) OP•CQ•sin∠ECD= (1)/(2) （t-3）× (4)/(5) t，
即S= (2)/(5) t ² - (6)/(5) t；
综上可知：S=

-(2)/(5) t 2 +(6)/(5) t(0＜t＜3)

(2)/(5) t 2 -(6)/(5) t(t＞3)

；

（3）分两种情况：
①0＜t＜3时，显然不存在以AD为边的情况，那么只考虑以AD为对角线的情况；
此时P（t-3，0），取易知AD的中点为：（4，3）；
∵平行四边形中，以AD、PQ为对角线，
∴AD的中点也是PQ的中点；
∴Q（11-t，6）；
∵直线CE：y= (4)/(3) x-4，代入Q点坐标得：
(4)/(3) （11-t）-4=6，解得t= (7)/(2) ；即BP=CQ= (7)/(2) ，
∴Q（ (3)/(2) × (3)/(5) +3， (3)/(2) × (4)/(5) ），即Q（ (51)/(10) ， (14)/(5) ）；
②t＞3时，显然不存在以AD为对角线的情况，那么只考虑以AD为边的情况；
此时PF ∥ DP，即F点纵坐标为6，由①得，此时F（ (15)/(2) ，6）；
即DP=AF= (15)/(2) ，BP=BD+DP=11+ (15)/(2) = (37)/(2) ，即t= (37)/(2) ；
此时CQ=BP= (37)/(2) ，同①可求得：Q（ (141)/(10) ， (74)/(5) ）．
综上可知：存在符合条件的F点，此时的t值和Q点坐标分别为：t= (3)/(2) ，Q（ (51)/(10) ， (14)/(5) ）或t= (37)/(2) ，Q（ (141)/(10) ， (74)/(5) ）．
故答案为：10，6，3．