如图，点P在x轴上，且OP=3，∠AOP=30°，点M也在x轴上，在OA上找点N，以P、M、N为顶点作正方形，则ON=2或3-3或3+32或3-3或3+3（如结果中有根号，请保留根号）．

Question

如图，点P在x轴上，且OP=√(3)，∠AOP=30°，点M也在x轴上，在OA上找点N，以P、M、N为顶点作正方形，则ON=

2或3-√(3)或3+√(3)

2或3-√(3)或3+√(3)

（如结果中有根号，请保留根号）．

Answer 1

设ON=2x，
①如图1，当PN是正方形的边长时，

∵∠AOP=30°，
∴OP=2x•cos30°=2x×(√(3))/(2)=√(3)x，
又∵OP=√(3)，
∴x=1，
∴ON=2x=2；

②如图2，PN是正方形的对角线，且∠OPN=45°时

∵∠AOP=30°，
∴OM=2x•cos30°=2x×(√(3))/(2)=√(3)x，
MP=MN=ON•sin30°=2x×(1)/(2)=x，
又∵OP=√(3)，
∴√(3)x+x=√(3)，
解得x=(3-√(3))/(2)，
∴ON=2x=3-

作业帮用户 2017-11-10 举报

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问题解析

根据题意，因为PN是边还是对角线没有明确，所以分①PN是正方形的边长，②PN是正方形的对角线，且∠OPN=45°与∠OPN=135°两种情况进行讨论，设出ON的长度是2x，然后表示出正方形的边长与OP的长度，再根据OP的长度列式求解．

名师点评

本题考点：

解直角三角形；坐标与图形性质．

考点点评：

本题主要考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，利用了正方形的性质，30°角的正弦与余弦，难度不是很大，但要注意分情况讨论，容易漏解而导致出错．

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