如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D′，折痕为EF，连接CF．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若∠B=45°，∠FCE=60°，AB=62，求线段D′F的长．

Question

如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D′，折痕为EF，连接CF． 

（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若∠B=45°，∠FCE=60°，AB=6√(2)，求线段D′F的长．

Answer 1

（1）证明：如图1，∵点C与点A重合，折痕为EF，
∴∠1=∠2，AE=EC．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠3=∠2．
∴∠1=∠3．
∴AE=AF．   
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵AE=AF，
∴四边形AFCE为菱形．
（2） 如图2，作AG⊥BE于点G，则∠AGB=∠AGE=90°，
∵点D的落点为点D′，折痕为EF，
∴D'F=DF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC．
又∵AF=EC，
∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE．
∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=6√(2)，
∴AG=GB=6．
∵四边形AFCE为平行四边形，
∴AE∥FC．
∴∠4=∠5=60°．
∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°，
∴GE=(AG)/(tan60°)=2√(3)．
∴BE=BG+GE=6+2√(3)．
∴D′F=6+2√(3)．