如图：已知平行四边形ABCD中,以AB为斜边在平行四边形内作等腰直角△ABE,且AE=AD,连接DE,过E作EF⊥DE交AB于F,交DC于G,且∠AEF=15°.（1）若EF=,求AB的长；（2）求证：2GE+EF=AB.

Question

如图：已知平行四边形ABCD中,以AB为斜边在平行四边形内作等腰直角△ABE,且AE=AD,连接D
E,过E作EF⊥DE交AB于F,交DC于G,且∠AEF=15°.
（1）若EF=,求AB的长；
（2）求证：2GE+EF=AB.

Answer 1

已知∠AEF=15° EF⊥DE可知,△ADE中AE=AD 可知 ∠DEA= ∠EDA=75° 可知∠EAD=30° 由题可知∠BAE= 45° 可得 ∠DAB=∠DCB=75° ∠CBA= ∠CDA=105° 已知∠ABC=45° 可知∠CBE=60° ,连接CE 又因为AD=BE=BC,所以△BCE是等边 .
可知∠DCE=15° CE=EF
有题可知∠GED=90° 由上述推论可知∠GDC=30° ∠DGE=60° 所以在△中DG=2GE
因为∠EGC=105°=∠AFE CE=EF ∠DCE=15°=∠AEF 所以△AEF=△ECG 所以GC=FE
AB=DC=DG+GC=2GE+CG=2GE+EF