已知f(n)=1+1/(根号下2)+（1/根号下3）+……+（1/根号下n）（n∈N+）,g（n）=2（根号下（n+1）-1）n∈N+由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并证明你的结论

Question

已知f(n)=1+1/(根号下2)+（1/根号下3）+……+（1/根号下n）（n∈N+）,g（n）=2（根号下 （n+1）-1）n∈N+
由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并证明你的结论

Answer 1

已知f(n)=1+1/√2+1/√3+……+1/√n,（n∈N+）,g（n）=2[√(n+1）-1],n∈N+
f(1)=1,g(1)=2(√2-1),f(1)>g(1)
f(2)=1+1/√2=1+√2/2 ,g(2)=2(√3-1) ,f(2)-g(2)=3+√2/2-2√3>0,f(2)>g(2)
猜想 f(n)>g(n)
用数学归纳法证明.
证明：
1）当n=1时,f(1)>g(1)已成立
2）假设当n=k时,f(k)>g(k)成立
即1+1/√2+1/√3+……+1/√k>2[√(k+1）-1],成立
那么当n=k+1时
f(k+1)=1+1/√2+1/√3+……+1/√k+1/√(k+1)
>2[√(k+1)-1]+1/√(k+1) =-2+[2(k+1)+1]/√(k+1)
=-2+(2k+3)/√(k+1)
下面证明-2+(2k+3)/√(k+1)>g(k+1)=2[√(k+2)-1]
只需证明 (2k+3)/√(k+1)>2√(k+2)
只需证明 (2k+3)> 2√[(k+1)(k+2)]
只需证明 (2k+3)^2> 4(k+1)(k+2)
只需证明 4k^2+12k+9 > 4k^2+12k+8
即9>8成立
∵9>8成立
∴-2+(2k+3)/√(k+1)>2[√(k+2)-1]成立
∴ f(k+1)>g(k+1)成立
即当n=k+1是f(n)>g(n)成立
由1）2）可知对任意的n∈N+,f(n)>g(n)总成立