如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-1，0）、B两点，交y轴于点C（0，5），且过点D（1，8），M为其顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积；（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的

Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（-1，0）、B两点，交y轴于点C（0，5），且过点D（1，8），M为其顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△MCB的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵A（-1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴

0=a-b+c

5=c

8=a+b+c

，
解方程组，得

a=-1

b=4

c=5

，
故抛物线的解析式为y=-x²+4x+5；

（2）过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=(1)/(2)MN•OB．
∵y=-x²+4x+5=-（x-5）（x+1）=-（x-2）²+9，
∴M（2，9），B（5，0），
由B、C两点的坐标易求得直线BC的解析式为：y=-x+5，
当x=2时，y=-2+5=3，则N（2，3），
则MN=9-3=6，
则S_△MCB=(1)/(2)×6×5=15；

（3）在抛物线上存在点P，使△PAB的面积等于△MCB的面积．理由如下：
∵A（-1，0），B（5，0），
∴AB=6，
∵△PAB的面积=△MCB的面积，
∴(1)/(2)×6×|y_P|=15，
∴|y_P|=5，y_P=±5．
当y_P=5时，-x²+4x+5=5，解得x₁=0，x₂=4；
当y_P=-5时，-x²+4x+5=-5，解得x₃=2+√(14)，x₄=2-√(14)．
故在抛物线上存在点P₁（0，5），P₂（4，5），P₃（2+√(14)，-5），P₃（2-√(14)，-5），使△PAB的面积等于△MCB的面积．