如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C，S△ABC=6．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作直角△BCD，CD交抛物线于P，若PC=PD，求P点坐标．

Question

如图，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C，S_△ABC=6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作直角△BCD，CD交抛物线于P，若PC=PD，求P点坐标．

Answer 1

（1）将x=0代入y=ax²+bx-3，故C（0，-3），则OC=3．
设B（x，0）．
∵S_△ABC=6．
∴(1)/(2)AB•OC=6，即(1)/(2)（x+1）×3=6，解得x=3．
∴A（-1，0）、B（3，0）．
则由题意，得

a−b−3＝0

9a+3b−3＝0

，
解得，

a＝1

b＝−2

，
∴该抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）如图，连接PB．
∵点P位于抛物线上，
∴设P（x、x²-2x-3）．
∵以点B为直角顶点，BC为直角边作直角△BCD，PC=PD，
∴PC=PB，
∴√(x2+(x2−2x−3+3)2)=√((x−3)2+(x2−2x−3)2)，即x²-x-2=0，
解得，x=(1±√(13))/(2)，
当x₁=(1+√(13))/(2)时，y₁=(−1−√(13))/(2)，即P₁（(1+√(13))/(2)，(−1−√(13))/(2)）．
当x₂=(1−√(13))/(2)时，y₂=(−1+√(13))/(2)，即P₂（(1−√(13))/(2)，(−1+√(13))/(2)）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（(1+√(13))/(2)，(−1−√(13))/(2)）和（(1−√(13))/(2)，(−1+√(13))/(2)）．