设fx（x，y）和fy（x，y）在点（x0，y0）处连续，证明f（x，y）在点（x0，y0）处可微．

Question

设f_x（x，y）和 f_y（x，y）在点（x₀，y₀）处连续，证明f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微．

Answer 1

利用一元函数的微分中值定理，可得，
△z=f（x₀+△x，y₀+△y）-f（x₀，y₀）
=f（x₀+△x，y₀+△y）-f（x₀+△x，y₀）+f（x₀+△x，y₀）-f（x₀，y₀）
=f_y（x₀+△x，y₀+θ₁△y）△y+f_x（x₀+θ₂△x，y₀）△x．
又因为　f_x（x，y）和 f_y（x，y）点（x₀，y₀）处连续，故存在α₁与α₂，使得
△z=f_y（x₀，y₀）△y+α₁△y+f_x（x₀，y₀）△x+α₂△x，
并且，α₁与α₂满足：

lim

△x→0

α1=0，

lim

△y→0

α2=0．
为了证明f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微，只需证明

lim

√((△x)2+(△y)2)→0

(α1△x+α2△y)/(√((△x)2+(△y)2))=0 即可．
利用绝对值的性质可得，
 |(α1△y+α2△x)/(√((△x)2+(△y)2))|≤(|α1||△y|+|α2||△x|)/(√((△x)2+(△y)2))≤|α1|+|α2|→0，
故f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微．