设A（xA，yA），B（xB，yB）为平面直角坐标系上的两点，其中xA，yA，BxB，yB∈Z．令△x=xB-xA，△y=yB-yA，若|△x|+|△y=3，且|△x|-|△y|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作

Question

设A（x _A ，y _A ），B（x _B ，y _B ）为平面直角坐标系上的两点，其中x _A ，y _A ，Bx _B ，y _B ∈Z．令△x=x _B -x _A ，△y=y _B -y _A ，若|△x|+|△y=3，且|△x|-|△y|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作：B=i（A）．
（Ⅰ）请问：点（0，0）的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在，说明理由；
（Ⅱ）已知点H（9，3），L（5，3），若点M满足M=i（H），L=i（M），求点M的坐标；
（Ⅲ）已知P ₀ （x ₀ ，y ₀ ）（x ₀ ∈Z，Y ₀ ∈Z）为一个定点，点列{P _i }满足：P _i =i（P _i-1 ），其中i=1，2，3，…，n，求|P ₀ P _n |的最小值．

Answer 1

（I）因为|△x|+|△y=3，且|△x|-|△y|≠0，|△x|与|△y|为非零整数，
故|△x|=1，|△y|=2；或|△x|=2，|△y|=1，所以点（0，0）的“相关点”有8个，
分别为：（1，2）、（1，-2）、（-1，2）、（-1，-2）、（2，1）、（2，-1）、
（-2，1）、（-2，-1）．…（1分）
又因为 （△x） ² +（△y） ² =5，即 (x i -0) 2 + (y i -0) 2 =5，
所以，这些可能值对应的点在以（0，0）为圆心，以

5

为半径的圆上．…（3分）
（II）设M（x _M ，y _M ），因为M=i（H），L=i（M），
所以有|x _M -9|+|y _M -3|=3，|x _M -5|+|y _M -3|=3，…（5分）
所以|x _M -9|=|x _M -5|，所以x _M =7，故y _M =2 或 y _M =4，
所以M（7，2），或M（7，4）．…（7分）
（III）当n=2k，且 k∈N ^*  时，|P ₀ P _n |的最小值为0．例如：P ₀ （x ₀ ，y ₀  ），
P ₁  （x ₀ +1，y ₀  ），P ₂ （（x ₀ ，y ₀  ），显然，P ₀ =i（P ₁ ），P ₁ =i（P ₂ ），此时，|P ₀ P ₂ |=0．…（8分）
当n=1时，可知，|P ₀ P _n |的最小值为

5

．…（9分）
当n=3 时，对于点P，按照下面的方法选择“相关点”，可得P ₃ （x ₀ ，y ₀ +1）：
由P ₀ （x ₀ ，y ₀  ），依次找出“相关点”分别为P ₁ （x ₀ +2，y ₀ +1），P ₂ （x ₀ +1，y ₀ +3），P ₃ （x ₀ ，y ₀ +1）．
此时，|P ₀ P ₃ |=1，故|P ₀ P _n |的最小值为1．…（11分）
然后经过3次变换回到P ₃ （x ₀ ，y ₀ +1），故|P ₀ P _n |的最小值为1．
当n=2k+1，k＞1，k∈N ^* 时，经过2k次变换回到初始点P ₀ （x ₀ ，y ₀ ），
故经过2k+1次变换回到P ₃ （x ₀ ，y ₀ +1），故|P ₀ P _n |的最小值为1．
综上，当 n=1 时，|P ₀ P _n |的最小值为

5

．
当当n=2k，k∈N ^*  时，|P ₀ P _n |的最小值为0，
当n=2k+1，k∈N ^*  时，|P ₀ P _n |的最小值为1．   …（13分）