已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x）（其中a＞0，且a≠1）（1）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；（2）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．

Question

已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x）（其中a＞0，且a≠1）
（1）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；
（2）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．

Answer 1

（1）函数f（x）-g（x）是奇函数，
证明：令F（x）=f（x）-g（x）=loga（x+1）-loga（1-x）=loga(1+x)/(1−x)，
由

x+1＞0

1−x＞0

 求得-1＜x＜1，故F（x） 的定义域为（-1，1）．
再由F（-x）=loga(1−x)/(1+x)=-loga(1+x)/(1−x)=-F（x），可得F（x）=f（x）-g（x）是奇函数．
（2）要使 f（x）+g（x）＜0成立，只要log_a（1+x）（1-x）＜0．
①当a＞1时，由log_a（1+x）（1-x）＜0 可得，0＜（1+x）（1-x）＜1，解得-1＜x＜0，或 0＜x＜1，
故使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合为（-1，0）∪（0，1）．
②当 0＜a＜1时，由log_a（1+x）（1-x）＜0 可得 （1+x）（1-x）＞1，解得 x∈∅，
此时，使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合为∅．