如图所示，将直径为2R的半圆形导轨固定在竖直面内的A、B两点，直径AB与竖直方向的夹角为60°．在导轨上套一质量为m的小圆环，原长为2R、劲度系数k=mg8R的弹性轻绳穿过圆环且固定在A、B两

Question

如图所示，将直径为2R的半圆形导轨固定在竖直面内的A、B两点，直径AB与竖直方向的夹角为60°．在导轨上套一质量为m的小圆环，原长为2R、劲度系数k=(mg)/(8R)的弹性轻绳穿过圆环且固定在A、B两点．已知弹性轻绳满足胡克定律，且形变量为x时具有弹性势能E_P=(1)/(2)kx²，重力加速度为g，不计一切摩擦．将圆环由A点正下方的C点静止释放，当圆环运动到导轨的最低点D点时，求：
（1）圆环的速率v；
（2）导轨对圆环的作用力F的大小？

Answer 1

 （1）如图所示，由几何知识得，圆环在C点、D点时，弹性绳形变量相同，弹性势能相等．
圆环从C到D过程中，由机械能守恒定律得：mgh=(1)/(2)mv²，
由几何关系可知：h=(R)/(2)，
解得：v=√(gR)；
（2）圆环在D点受力如图，弹性绳的弹力：
f=kx，其中：x=（√(3)-1）R，
在D点，由牛顿第二定律得：
F_N+fcos60°+fsin60°-mg=m(v2)/(R)，
解得：F_N=(15)/(8)mg；
答：（1）圆环的速率为√(gR)；
（2）导轨对圆环的作用力F的大小为(15)/(8)mg．