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在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点B的坐标为(0,4),BC平分∠ABO交x轴于点C(2,0).点P是线段AB上一个动点(点P不与点A,B重合),过点P作AB的垂线分别与x轴交于点D,与y
题目详情
在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点B的坐标为(0,4),BC平分∠ABO交x轴于点C(2,0).点P是线段AB上一个动点(点P不与点A,B重合),过点P作AB的垂线分别与x轴交于点D,与y轴交于点E,DF平分∠PDO交y轴于点F.设点D的横坐标为t.
(1)如图1,当0<t<2时,求证:DF∥CB;
(2)当t<0时,在图2中补全图形,判断直线DF与CB的位置关系,并证明你的结论;
(3)若点M的坐标为(4,-1),在点P运动的过程中,当△MCE的面积等于△BCO面积的
倍时,直接写出此时点E的坐标.

(1)如图1,当0<t<2时,求证:DF∥CB;
(2)当t<0时,在图2中补全图形,判断直线DF与CB的位置关系,并证明你的结论;
(3)若点M的坐标为(4,-1),在点P运动的过程中,当△MCE的面积等于△BCO面积的
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1.
∵在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点B的坐标为(0,4),
∴∠AOB=90°.
∵DP⊥AB于点P,
∴∠DPB=90°,
∵在四边形DPBO中,∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°,
∴∠PBO+∠PDO=180°,
∵BC平分∠ABO,DF平分∠PDO,
∴∠CBO=
∠PBO,∠ODF=
∠PDO,
∴∠CBO+∠ODF=
(∠PBO+∠PDO)=90°,
∵在△FDO中,∠OFD+∠ODF=90°,
∴∠CBO=∠DFO,
∴DF∥CB.

(2)直线DF与CB的位置关系是:DF⊥CB,
证明:延长DF交CB于点Q,如图2,
∵在△ABO中,∠AOB=90°,
∴∠BAO+∠ABO=90°,
∵在△APD中,∠APD=90°,
∴∠PAD+∠PDA=90°,
∴∠ABO=∠PDA,
∵BC平分∠ABO,DF平分∠PDO,
∴∠CBO=
∠ABO,∠CDQ=
∠PDO,
∴∠CBO=∠CDQ,
∵在△CBO中,∠CBO+∠BCO=90°,
∴∠CDQ+∠DCQ=90°,
∴在△QCD中,∠CQD=90°,
∴DF⊥CB.
(3)过M作MN⊥y轴于N,
∵M(4,-1),
∴MN=4,ON=1,
当E在y轴的正半轴上时,如图3,
∵△MCE的面积等于△BCO面积的
倍时,
∴
×2×OE+
×(2+4)×1-
×4×(1+OE)=
×
×2×4,
解得:OE=
,
当E在y轴的负半轴上时,如图4,
×(2+4)×1+
×(OE-1)×4-
×2×OE=
×
×2×4,
解得:OE=
,
即E的坐标是(0,
)或(0,-
).
∵在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点B的坐标为(0,4),
∴∠AOB=90°.
∵DP⊥AB于点P,
∴∠DPB=90°,
∵在四边形DPBO中,∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°,
∴∠PBO+∠PDO=180°,
∵BC平分∠ABO,DF平分∠PDO,
∴∠CBO=
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∴∠CBO+∠ODF=
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∵在△FDO中,∠OFD+∠ODF=90°,
∴∠CBO=∠DFO,
∴DF∥CB.

(2)直线DF与CB的位置关系是:DF⊥CB,
证明:延长DF交CB于点Q,如图2,
∵在△ABO中,∠AOB=90°,
∴∠BAO+∠ABO=90°,
∵在△APD中,∠APD=90°,
∴∠PAD+∠PDA=90°,
∴∠ABO=∠PDA,
∵BC平分∠ABO,DF平分∠PDO,
∴∠CBO=
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∴∠CBO=∠CDQ,

∴∠CDQ+∠DCQ=90°,
∴在△QCD中,∠CQD=90°,
∴DF⊥CB.
(3)过M作MN⊥y轴于N,
∵M(4,-1),
∴MN=4,ON=1,
当E在y轴的正半轴上时,如图3,

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解得:OE=
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当E在y轴的负半轴上时,如图4,
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解得:OE=
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即E的坐标是(0,
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