如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在AD（含端点）上，落点记为E，这时，折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后再展开铺平，则以点B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折

Question

如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在AD（含端点）上，落点记为E，这时，折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后再展开铺平，则以点B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．

（1）如图（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当它的“折痕△BEF”的顶点位于边AD的中点时，画出“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；
（2）如图（3），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）折痕△BEF如图（2）中所示，
连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形．

∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A．
∴四边形ABFE为正方形．
∴BF=AB=2，
∴F（2，0）．

（2）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，
理由如下：①当F在边BC上时，如图（3）中所示．

S_△BEF≤(1)/(2)S_矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4．

②当F在边CD上时，如图（4）中所示，

过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K．
∵S_△EKF=(1)/(2)KF•AH≤(1)/(2)HF•AH=(1)/(2)S_矩形AHFD，
S_△BKF=(1)/(2)KF•BH≤(1)/(2)HF•BH=(1)/(2)S_矩形BCFH，
∴S_△BEF≤(1)/(2)S_矩形ABCD=4．
即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4．
下面求面积最大时，点E的坐标．
①当F与点C重合时，如图（3）所示．
由折叠可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中，ED=√(CE2-CD2)=2 √(3)．
∴AE=4-2 √(3)．
∴E（4-2 √(3)，2）．
②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，此时E（0，2）．
综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（4-2 √(3)，2）．