z=2-x^2-y^2与z=√(x^2+y^2)所围体积

Question

z=2-x^2-y^2与z=√(x^2+y^2)所围体积

Answer 1

方程 z = 2 - x² - y² 可化为 x² + y² = 2 - z；表示平面曲线 x² = 2 - z 绕Z轴旋转形成的曲面
方程 z = √(x² + y²)；表示平面直线 z = x 绕 Z轴旋转形成的旋转曲面 z ≥ 0的部分；
因此所求几何体即是：
x-z平面 x=0；x² = 2 - z；x=z；所构成的平面图形绕Z轴旋转构成的旋转体；
∴ x的取值范围 [0,1]；z的取值范围 [0,2]
旋转体由两部分构成
(1) z∈[ 0,1],z = x 旋转形成的底面半径为1 的圆锥；
高度为 z 处旋转半径为 r=x=z；
dV1 = πr² *dz = πz² *dz
(2) z∈[ 1,2],z = 2- x² 旋转形成的近似半球；
高度为 z 处旋转半径为 r=x=√(2-z) ；
dV2 = πr² *dz = π(2-z) *dz
旋转体体积：
V = [0,1]∫πz² *dz + [1,2]∫π(2-z) *dz
= 5π/6