已知f（x）=2cosx+√3sin2x+a,a∈R.（1）若f（x）有最大值为2,求实数a的值.（2）求函数y=f（x）的单调区间

Question

已知f（x）=2cosx+√3sin2x+a,a∈R.（1）若f（x）有最大值为2,求实数a的值.（2）求函数y=f（x）的单调区间

Answer 1

f(x)=2cos²x+√3sin(2x)+a
f(x)=2cos²x-1+√3sin(2x)+a+1
f(x)=cos(2x)+√3sin(2x)+a+1
f(x)=2[(1/2)cos(2x)+(√3/2)sin(2x)]+a+1
f(x)=2[sin(π/6)cos(2x)+cos(π/6)sin(2x)]+a+1
f(x)=2sin(2x+π/6)+a+1
：f(x)=2sin(2x+π/6)+a+1
当x∈[0,π/2]时,有：2x+π/6∈[π/6,7π/6]
此时：sin(2x+π/6)∈[-1/2,1]
有：2sin(2x+π/6)+a+1∈[a,a+3]
即：f(x)的最大值是a+3
已知：f(x)的最大值为4
有：a+3=4
解得：a=1
对于2sinx+m：
单调增区间是：x∈(2kπ-π/2,2kπ+π/2),其中：k=0、±1、±2……,下同.
单调减区间是：x∈(2kπ+π/2,2kπ+3π/2).
对于2sin(2x+π/6)+a+1：
单调增区间是：2x+π/6∈(2kπ-π/2,2kπ+π/2),
单调减区间是：2x+π/6∈(2kπ+π/2,2kπ+3π/2).
即：
单调增区间是：x∈(kπ-2π/3,kπ+π/6),单调减区间是：x∈(kπ+π/6,kπ+2π/3).