sinx+sin2x+sin4x=0求x(-π

Question

sinx+sin2x+sin4x=0 求x (-π

Answer 1

（这题如果看一下 可以发现x=0时成立 如果是选择题,那么就已经做出来了）
sinx+sin2x+sin4x=sinx+2sinxcosx+2sin2xcos2x =sinx+2sinxcosx+4sinxcosxcos2x
=sinx(1+2cosx+4cosxcos2x)
=sinx [1+2cosx(1+2cos2x)]
=sinx [1+2cosx(1+2(2cos^2 x -1))]
=sinx（1+8cos^3 x -2cosx）
=0
则sinx=0 或1+8cos^3 x -2cosx=0
1^ sinx=0 由定义域得x=0
2^ 令 cosx =t ∈(0,1]
h(x)= 1+8cos^3 x -2cosx
=1+8t^3-2t
h(x)导数为 24t^2-2
令导数＞0
得t＞√3/6 或t＜-√3/6（t ∈(0,1],所以舍去 ）
所以h(x)在（0,√3/6]递减 ,在[√3/6,1]递增
所以h(x)在t=1/（√3/6）取得最小值 =1-2√3/9>0
所以1+8cos^3 x -2cosx=0无解
综上 1^ 2^ 得 x=0