设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3.又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在[−12，32]上的零点个数为（）A.5B.6C.7D.8

Question

设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x³.又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在[−(1)/(2)，(3)/(2)]上的零点个数为（　　）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

Answer 1

因为当x∈[0，1]时，f（x）=x³．
所以当x∈[1，2]时2-x∈[0，1]，
f（x）=f（2-x）=（2-x）³，
当x∈[0，(1)/(2)]时，g（x）=xcos（πx）；当x∈[(1)/(2)，(3)/(2)]时，g（x）=-xcosπx，
注意到函数f（x）、g（x）都是偶函数，
且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，
g（(1)/(2)）=g（(3)/(2)）=0，
作出函数f（x）、g（x）的草图，
函数h（x）除了0、1这两个零点之外，
分别在区间[-(1)/(2)，0]，[0，(1)/(2)]，[(1)/(2)，1]，[1，(3)/(2)]上各有一个零点．
共有6个零点，
故选B