已知函数f（x）=x-alnx+b，a，b为实数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+3，求a，b的值；（Ⅱ）若|f′（x）|<3x2对x∈[2，3]恒成立，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x-alnx+b，a，b为实数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+3，求a，b的值；
（Ⅱ）若|f′（x）|<(3)/(x2)对x∈[2，3]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（I）f′（x）=1-(a)/(x)，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+3，
∴f′（1）=2，f（1）=5，
∴

1-a=2

1+b=5

，解得a=-1，b=4．
（II）∵|f′（x）|<(3)/(x2)对x∈[2，3]恒成立，即|1-(a)/(x)|<(3)/(x2)对x∈[2，3]恒成立，
∴|x-a|<(3)/(x)对x∈[2，3]恒成立，
∴x-(3)/(x)<a<x+(3)/(x)对x∈[2，3]恒成立，
设g（x）=x-(3)/(x)，h（x）=x+(3)/(x)，x∈[2，3]，
则g′（x）=1+(3)/(x2)>0，h′（x）=1-(3)/(x2)>0，
∴g（x）在[2，3]上是增函数，h（x）在[2，3]上是增函数，
∴g_max（x）=g（3）=2，h_min（x）=h（2）=(7)/(2)．
∴a的取值范围是[2，(7)/(2)]．