已知x,y,x>0,求(xy+y^2)/(x^2+y^2+z^2)的最大值

Question

已知x,y,x>0,求(xy+y^2)/(x^2+y^2+z^2)的最大值

Answer 1

显然z=0时 原式最大
原式=(xy+y^2)/(x^2+y^2)
设t=y/x
原式=(t²+t)/(t²+1)=1+(t-1)/(t²+1)
设tan a=t (a∈[0,π/2))
原式化简= 1+sin a*cos a - cos²a
=1+1/2*sin 2a-1/2(1+cos2a)
=1/2+1/2(sin2a-cos2a)
=1/2+√2/2(sin2a*cos(π/4)-cos2a*sin(π/4))
=1/2+√2/2sin(2a-(π/4))
≥1+√2/2 (当2a-(π/4)=π/2时成立)
即当a=3/4π时成立