设x，y，z∈R且x+2y+3z=1（I）当z=1，|x+y|+|y+1|＞2时，求x的取值范围；（II）当x＞0，y＞0，z＞0时，求u=x2x+1+2y2y+2+3z2z+3的最小值．

Question

设x，y，z∈R且x+2y+3z=1
（I）当z=1，|x+y|+|y+1|＞2时，求x的取值范围；
（II）当x＞0，y＞0，z＞0时，求 u=(x2)/(x+1) +(2y2)/(y+2) +(3z2)/(z+3) 的最小值．

Answer 1

（I）当z=1时，∵x+2y+3z=1，∴x+2y=-2，即 y=(-2-x)/(2)
∴|x+y|+|y+1|＞2可化简|x-2|+|x|＞4，
∴x＜0时，-x+2-x＞4，∴x＜-1；
0≤x≤2时，-x+2+x＞4不成立；
x＞2时，x-2+x＞4，∴x＞3
综上知，x＜-1或x＞3；
（II）∵（ (x2)/(x+1) +(2 y2)/(y+2) +(3 z2)/(z+3) ）[（x+1）+2（y+2）+3（z+3）]≥（x+2y+3z） ²
∴（ (x2)/(x+1) +(2 y2)/(y+2) +(3 z2)/(z+3) ）（x+2y+3z+14）≥（x+2y+3z） ² ，
∴ (x2)/(x+1) +(2 y2)/(y+2) +(3 z2)/(z+3) ≥(1)/(15)
∴u ≥(1)/(15) ，当且仅当 (x)/(x+1) =(y)/(y+2) =(z)/(z+3) ，又x+2y+3z=1，即x= (1)/(14) ，y= (1)/(7) ，z= (3)/(14) 时，u _min = (1)/(15) ．