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已知x×x+y×y+z×z-x×y-y×z-x×z=0求证x=y=z
题目详情
已知x×x+y×y+z×z-x×y-y×z-x×z=0 求证x=y=z
▼优质解答
答案和解析
解
x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0
两边乘以2得
2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0
则
(x^2-2xy+y^2)+(x^2-2xz+z^2)+(y^2-2yz+z^2)=0
∴
(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2=0
∵(x-y)^2≥0
(x-z)^2≥0
(y-z)^2≥0
∴只能
x-y=0,x-z=0,y-z=0
∴x=y=z
x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0
两边乘以2得
2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0
则
(x^2-2xy+y^2)+(x^2-2xz+z^2)+(y^2-2yz+z^2)=0
∴
(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2=0
∵(x-y)^2≥0
(x-z)^2≥0
(y-z)^2≥0
∴只能
x-y=0,x-z=0,y-z=0
∴x=y=z
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