设x＞0，y＞0，z＞0，且x2+y2+z2=1．（Ⅰ）求证：xy+yz+xz≤1；（Ⅱ）求（）2的最小值．

Question

设x＞0，y＞0，z＞0，且x ² +y ² +z ² =1．
（Ⅰ）求证：xy+yz+xz≤1；   
（Ⅱ）求（ ） ² 的最小值．

Answer 1

分析：
（Ⅰ）利用重要不等式x2+y2≥2xy，通过同向不等式可加性，直接求证：xy+yz+xz≤1；   （Ⅱ）利用≥2z2；≥2y2；≥2x2，推出（）2的不等关系，利用已知条件即可求出表达式的最小值．

（Ⅰ）证明：因为x2+y2≥2xy；   y2+z2≥2yz；    x2+z2≥2xz；所以x2+y2+z2≥xy+yz+xz；故xy+yz+xz≤1，当且仅当x=y=z时取等号；---------------------（6分）（Ⅱ）因为≥2z2；≥2y2；≥2x2所以+≥x2+y2+z2=1；而（）2=++2（x2+y2+z2）≥3所以（）2≥3，当且仅当x=y=z时取等号；故当x=y=z=时，（）2的最小值为3．------------（14分）
点评：
本题考查不等式的证明方法综合法的应用，重要不等式的应用，考查分析问题与解决问题的能力．