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在r^2≤x^2+y^2+z^2≤R^2及z≥0的条件下,求∫∫∫(x^2+y^2)
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在r^2≤x^2+y^2+z^2≤R^2及z≥0的条件下,求∫∫∫(x^2+y^2)
▼优质解答
答案和解析
可用球面坐标解决
x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ
画出区域图并把参数代入条件可得 0≤θ≤2π ,0≤φ≤π/2,r≤ρ≤R
所以
∫∫∫(x^2+y^2)=∫dθ∫(sinφ)^3dφ∫ρ^4dρ
=4π(R^5-r^5)/15
公式：∫(sinx)^ndx=−(sinx)^(n−1)cosx/n+(n−1)∫(sinx)^(n−2)dx
x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ
画出区域图并把参数代入条件可得 0≤θ≤2π ,0≤φ≤π/2,r≤ρ≤R
所以
∫∫∫(x^2+y^2)=∫dθ∫(sinφ)^3dφ∫ρ^4dρ
=4π(R^5-r^5)/15
公式：∫(sinx)^ndx=−(sinx)^(n−1)cosx/n+(n−1)∫(sinx)^(n−2)dx
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