设x＞0，y＞0，z＞0，（Ⅰ）比较x2x+y与3x−y4的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：x3x+y+y3y+z+z3z+x≥xy+yz+zx2．

Question

设x＞0，y＞0，z＞0，
（Ⅰ）比较(x2)/(x+y)与(3x−y)/(4)的大小；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：(x3)/(x+y)+(y3)/(y+z)+(z3)/(z+x)≥(xy+yz+zx)/(2)．

Answer 1

（Ⅰ）∵(x2)/(x+y)−(3x−y)/(4)＝((x−y)2)/(4(x+y))≥0，∴(x2)/(x+y)≥(3x−y)/(4)．（5分）
（Ⅱ）由（1）得(x3)/(x+y)≥(3x2−xy)/(4)．
类似的(y3)/(y+z)≥(3y2−yz)/(4)，(z3)/(z+x)≥(3z2−zx)/(4)，（7分）
又x2+y2+z2−(xy+yz+zx)＝(1)/(2)[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2]≥0；
∴x²+y²+z²≥xy+yz+zx（9分）（另证：x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，z²+x²≥2zx，三式相加）．
∴(x3)/(x+y)+(y3)/(y+z)+(z3)/(z+x)≥(3x2−xy+3y2−yz+3z2−zx)/(4)=(3(x2+y2+z2)−xy−yz−zx)/(4)≥(3(xy+yz+zx)−xy−yz−zx)/(4)＝(xy+yz+zx)/(2)（12分）