求平面x/3+y/4+z/5=1和柱面x2+y2=1的交线上与平面距离最短的点.求平面x/3+y/4+z/5=1和柱面x^2+y^2=1的交线上与平面距离最短的点.请问是设L=z+k(x/3+y/4+z/5-1)+u(x^2+y^2-1)还是L=z^2+k(x/3+y/4+z/5-1)+u(x^2+y^2-1)为什

Question

求平面x/3+y/4+z/5=1和柱面x2+y2=1的交线上与平面距离最短的点.
求平面x/3+y/4+z/5=1和柱面x^2+y^2=1的交线上与平面距离最短的点.请问是设L=z+k(x/3+y/4+z/5-1)+u(x^2+y^2-1)还是L=z^2+k(x/3+y/4+z/5-1)+u(x^2+y^2-1)为什么?

Answer 1

这是因为求距离都是正值,距离公式外都要加绝对值符号,作目标函数时,平方后就不会出现负数问题,你若对空间图形有直观的了解,就不必用平方项,因为平面x/3+y/4+z/5=1是经过
A（3,0,0）,B（0,4,0）,C（0,0,5）三点,柱面在XOY平面交线为圆心O,半径为1,其交线只能在第一卦限和第三卦限,第一卦限为最小值,第三卦限为最大值,平面x/3+y/4+z/5=1至XOY平面距离就是z坐标值,
z=(5-5x/3-5y/4),
限制条件：x^2+y^2=1,
设φ(x,y)=x^2+y^2-1=0,
作函数Φ(x,y)=5-5x/3-5y/4+λ（x^2+y^2-1),
?Φ/?x=-5/3+2λx=0,
?Φ/?y=-5/4+2λy=0,
λ=5/(6x),
λ=5/(8y),
5/(6x)=6/(8y),
y=3x/4,
代入限制条件,x^2+y^2=1,
x^2+9x^2/16=1,
x^2=16/25,
x=±4/5,
y=±3/5,
当x=4/5,y=3/5时,是交线上与xOy平面距离最短的点,
距离为：z(min)=35/12,
当x=-4/5,y=-3/5时,是交线上与xOy平面距离最长的点.
z(max)=85/12,
∴平面x/3+y/4+z/5=1和柱面x^2+y^2=1的交线上与xOy平面距离最短的点为（4/5,3/5.35/12),
在不知道距离的正负值时一定要用平方来作目标函数.
现不知距离的正负值,则设距离的平方来作目标函数,
设D=(60-20x-15y)^2/144,
作函数Φ(x,y)=(60-20x-15y/4)^2/144+λ（x^2+y^2-1),
令?Φ/?x=-5(60-20x-15y)/18+2λx=0,
?Φ/?y=-5(60-20x-15y)/24+2λy=0,
λ=5(60-20x-15y)/(36x)
λ=5(60-20x-15y)/(48y),
5(60-20x-15y)/(36x)=5(60-20x-15y)/(48y),
∵60-20x-15y≠0,
∴y=3x/4,
代入限制条件函数x^2+y^2=1,
x=±4/5,
y=±3/5,
取正值为最小点,
z(min)=[1-(4/5)/3-(3/5)/4]*5=35/12
∴平面x/3+y/4+z/5=1和柱面x^2+y^2=1的交线上与xOy平面距离最短的点为（4/5,3/5,35/12).