已知函数f(x)=lg(x+a/x-2),其中a是大于0的常数.（1）求函数f(x)的定义域.（2）当a∈（1,4）时,求函数f(x)在(2,+∞)上的最小值.(3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.(2)中不是(2,+∞),而是[

Question

已知函数f(x)=lg(x+a/x-2),其中a是大于0的常数.
（1）求函数f(x)的定义域.
（2）当a∈（1,4）时,求函数f(x)在(2,+∞)上的最小值.
(3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.
(2)中不是(2,+∞),而是[2,+∞)

Answer 1

1)为使lg(x+a/x-2)有意义,x≠0,x+a/x-2>0.
x0即a>1时,定义域为(0,+∞).
当2√a-2≤0即00得定义域为(0,1-√(1-a))∪(1+√(1-a),+∞)
2)a∈(1,4)时,x+a/x-2≥2√a-2,等号当且仅当x=√a时成立.
但√a∈(1,2),因此x≠√a.
由函数y=x+a/x-2在[√a,+∞)上单增,
可知原函数f(x)=lg(x+a/x-2)在[√a,+∞)上单增.
因为√a0即为x+a/x-2>1,x+a/x-3>0.
若函数y=x+a/x-3在[2,+∞)上能取到x=√a的极值,
则√a≥2,2√a-3>0,解得a≥4.
若取不到该极值,则由2)所述,当x=2时y=x+a/x-3有最小值a/2-1.
此时√a0,解得2